EJERCICIOS DE TEORIA DE COLAS - INVESTIGACION DE OPERACIONES

M/M/S

1. Supongan que existen 5 canales de servicio con tasas promedio de servicio m=6 y una tasa de llegada de λ=24 unidades por hora. Esto implica que S=5. Como datos conocemos que: µ=6, λ=24 y S=24.
2. En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuántos servidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora llegan en promedio 100clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50 clientes por hora. Un servidor cuesta 5 $/hora y se carga un costo de 20 $ por cada cliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimice el costo.
3. Un servidor puede atender un cliente cada 5 minutos y la tasa media de llegada es de 9 clientes por hora. Obtener las medidas de desempeño en donde S = 2. También hallar la probabilidad de tener cero clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema.
4. Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el     problema antes descrito. ¿Qué tanto se mejorará el servicio? De sus conclusiones y recomendaciones para el Banco.
5. La Dolomite Corporation planea una nueva fábrica. Se han asignado máquinas automáticas a un departamento. Se contratará un pequeño número (a de terminar) de operarios para darles servicio ocasional (carga, descarga, ajuste, preparación, etc), y debe decidirse cómo organizarlos. La alternativa 1es asignar a cada operario sus máquinas. La alternativa 2 es agruparlos para que el operario desocupado dé servicio a la siguiente máquina que lo necesite. La alternativa 3 es combinarlos en una cuadrilla y juntos atiendan cualquier máquina.
   El tiempo de operación (entre la terminación de un servicio y la necesidad de atender la máquina de nuevo) de cada máquina tiene distribución exponencial con media de 150 minutos. El tiempo de servicio tiene distribución exponencial con media de 15 minutos (para las alternativas 1 y 2) o 15 minutos entre el número de operario (alternativa 3). Para que el departamento logre la tasa de producción requerida, las máquinas deben operar por lo menos 89% del tiempo en promedio.
   a)    Para la alternativa 1¿Cuál es el número máximo de máquinas asignadas a un operario para lograr la tasa de producción? ¿Cuál es la utilización de cada operario?
   b)    Para la alternativa 2 ¿Cuál es el número mínimo de operarios necesario para lograr la tasa de producción? ¿cuál es la utilización de cada operario?
   c)    Para la alternativa 3, ¿cuál es el tamaño mínimo de la cuadrilla necesaria para lograr la tasa de producción? ¿cuál es la utilización de la cuadrilla? 

M/M/S/N

1. A una Mesa de ayuda de dos ejecutivos, llaman clientes según un proceso exponencial de tasa 20 personas por hora, se sabe además que los ejecutivos atienden los llamados según un proceso exponencial de tasa 20 personas por hora, se sabe además que los ejecutivos atienden los llamados según un proceso de Poisson, con un tiempo entre llamadas de 2 minutos. Con esta información se le solicita que:
   
   a. Modele el problema anterior como un problema de colas y calcule las colas y calcule las probabilidades conjuntas en estado estacionario de que haya k clientes en el sistema para capacidad limitada e ilimitada de atención.
   
   b. Calcule el numero medio de clientes en el sistema L= 
   
   c. Calculé el tiempo medio del sistema de estadía en el sistema W=L/ λ
   
   d. Bajo este ultimo escenario ¿Cual es la probabilidad de que el sistema se encuentre vacío? ¿Cual es la probabilidad de que un cliente NO sea atendido?
2. Considere la posibilidad de una inspección estatal de automóviles con tres puestos de inspección, cada una con espacio para un solo coche. La disciplina de servicio FCFS, es decir, cuando un puesto queda vacante, el coche a la cabeza de la línea se detiene en él. La estación puede acomodar en la mayoría de los cuatro carros de espera (siete en la estación) al mismo tiempo. El patrón de llegada es Poisson con una media de un coche cada minuto durante los períodos pico. El tiempo de servicio es exponencial con una media de 6 minutos. El inspector jefe quiere saber:
   a)    La media en el sistema
   b)    El tiempo medio de espera en el sistema
   c)    El número esperado de vehículos que no pueden entrar en la estación por hora debido a plena capacidad.
3. En una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado se realiza en 5 operaciones básicas que se efectúan de una manera secuencial; si le tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos. Estas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 2 máquinas / hora y en la fábrica solo hay un mecánico que las repara.
   Calcular las características de operación de la empresa.

M/M/S/S

1. Con prioridad con interrupción.
   Un centro de trabajo dentro de un taller se puede representar como un sistema de colas con un servidor, al que los trabajadores tienen llegada de Poisson con tasa de media de 8 por día. Aunque las llegadas son de tres tipos, el tiempo requerido para realizar cualquier trabajo tiene la misma distribución exponencial, con mediada de 0.1 días. La práctica ha sido realizada en el orden de llegada, pero es importante que los trabajos del tipo 1 no esperen mucho, mientras que no importa tanto para trabajos tipo 2 y casi no tiene importancia si se trata de los del tipo 3. Los tres tipos llegan con tasas medias respectivas de 2,4 y 2 por día. Como los tres tipos han experimentado retrasos bastante grandes en promedio, se propone seleccionar según una disciplina de prioridad apropiada.
   Compare el tiempo de espera esperado para cada tipo de trabajo si la disciplina en la cola
   a)    Primero en entrar, primero en salir
   b)    Prioridades sin interrupción
   c)    Prioridades con interrupción
2. Suponga que para tomar un tren se venden boletos de dos clases. Se ha observado que para la primera clase λ1 = 20 y λ2 = 60 para los pasajeros de segunda clase cada hora.
   La ventanilla opera con µ1 = 60 para primera clase y µ2 = 120 para la segunda clase cada hora. En otras palabras, el tiempo promedio de servicio es 1/60 [horas], es decir, 1 [min] para procesar a un pasajero de primera clase y sólo 1/2 [min] para los pasajeros de segunda clase (esto es porque los pasajeros de segunda clase pagan con sencillo y generalmente el valor justo del pasaje).
   Se tiene además que:
   σ1 = 0,85[min] = 0,141[horas]
   σ2 = 0,38[min] = 0,0063[horas]
3. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.
   a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
   b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
   
    

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